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マクスウェル方程式のローレンツ変換の計算 divBの場合

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多くの教科書に掲げており、いまさらだけど、見やすくすることにこころがけた。
一色だと二つの慣性系はK系xとK'系x'で区別されるがここではxを黒xに、x'を緑xで表す。黒xに際して正方向に速度vで動く緑K'系xの慣性系同士のローレンツ変換は

 

          

K'系からK系みたら-v方向に動くので、x-vtの-vが+vになる。t-vx/c^2の-vが+vになる。

ここでv/c≡βと置き
x/∂x、∂t/∂x、∂x/∂t、∂t/∂tをそれぞれ計算すると

       

∂x/∂x、∂t/∂x、∂x/∂t、∂t/∂tはそれぞれ

       

マクスウエル方程式のひとつdivB(r,t)=0はK'系ではどのように見えるか。かりにdivB(r,t)

 と書き  は  なのだが ∂y/∂x、∂z/∂xは0なので落とせる。したがって

By/∂yの計算も∂x/∂y=0、∂z/∂y=0かつ∂t/∂y=0

同様に

よって

 …(1)

もしK系で観測される磁束密度BK'系で観測される磁束密度Bの間に以下のような関係があると仮定すると、成分で

…(2a)

  …(2b)

  …(2c)

先ほどの(1)にこの3つの式を入れると

第一項は0となるが[ ]カッコの中は電磁誘導の式になる。第一項と第二項とも0となるのでdivB=0となる。